一、什么是发生函数

发生函数"的英文原词是generating function。它的另外两个译名是"生成函数"与"母函数"。母函数虽词简而意深，但现今已不常用了。发生函数方法是现代离散数学领域中的重要方法，它能以某种统一的程序方式处理和解决众多不同类型的问题。

生成函数（也有叫做“母函数”的，但是我觉得母函数不太好听）是说，构造这么一个多项式函数g(x)，使得x的n次方系数为f(n)。

生成函数最绝妙的是，某些生成函数可以化简为一个很简单的函数。也就是说，不一定每个生成函数都是用一长串多项式来表示的。比如，这个函数f(n)=1（n当然是属于自然数的），它的生成函数就应该是g(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+...（每一项都是一，即使n=0时也有x^0系数为1，所以有常数项）。再仔细一看，这就是一个有无穷多项的等比数列求和嘛。如果-1<x<1，那么g(x)就等于1/(1-x)了。在研究生成函数时，我们都假设级数收敛，因为生成函数的x没有实际意义，我们可以任意取值。于是，我们就说，f(n)=1的生成函数是g(x)=1/(1-x)。

我们举一个例子说明，一些具有实际意义的组合问题也可以用像这样简单的一个函数全部表示出来。

考虑这个问题：从二班选n个MM出来有多少种选法。学过简单的排列与组合的同学都知道，答案就是C(4,n)。也就是说。从n=0开始，问题的答案分别是1,4,6,4,1,0,0,0,...（从4个MM中选出4个以上的人来方案数当然为0喽）。那么它的生成函数g(x)就应该是g(x)=1+4x+6x^2+4x^3+x^4。这不就是……二项式展开吗？于是，g(x)=(1+x)^4。

你或许应该知道，(1+x)^k=C(k,0)x^0+C(k,1)x^1+...+C(k,k)x^k；但你或许不知道，即使k为负数和小数的时候，也有类似的结论：(1+x)^k=C(k,0)x^0+C(k,1)x^1+...+C(k,k)x^k+C(k,k+1)x^(k+1)+C(k,k+2)x^(k+2)+...（一直加到无穷；式子看着很别扭，自己写到草稿纸上吧，毕竟这里输入数学式子很麻烦）。其中，广义的组合数C(k,i)就等于k(k-1)(k-2)(k-i+1)/i!，比如C(4,6)=4*3*2*1*0*(-1)/6!=0，再比如C(-1.4,2)=(-1.4)*(-2.4)/2!=1.68。后面这个就叫做牛顿二项式定理。当k为整数时，所有i>k时的C(k,i)中分子都要“越过”0这一项，因此后面C(k,k+1),C(k,k+2)之类的都为0了，与我们的经典二项式定理结论相同；不同的是，牛顿二项式定理中的指数k可以是任意实数。

我们再举一个例子说明一些更复杂的生成函数。n=x1+x2+x3+...+xk有多少个非负整数解？这道题是学排列与组合的经典例题了。把每组解的每个数都加1，就变成n+k=x1+x2+x3+...+xk的正整数解的个数了。教材上或许会出现这么一个难听的名字叫“隔板法”：把n+k个东西排成一排，在n+k-1个空格中插入k-1个“隔板”。答案我们总是知道的，就是C(n+k-1,k-1)。它就等于C(n+k-1,n)。它关于n的生成函数是g(x)=1/(1-x)^k。这个生成函数是怎么来的呢？其实，它就是(1-x)的-k次方。把(1-x)^(-k)按照刚才的牛顿二项式展开，我们就得到了x^n的系数恰好是C(n+k-1,n)，因为C(-k,n)*(-x)^n=[(-1)^n*C(n+k-1,n)]*[(-1)^n*x^n]=C(n+k-1,n)x^n。这里看晕了不要紧，后文有另一种方法可以推导出一模一样的公式。事实上，我们有一个纯组合数学的更简单的解释方法。因为我们刚才的几何级数1+x+x^2+x^3+x^4+...=1/(1-x)，那么(1+x+x^2+x^3+x^4+...)^k就等于1/(1-x)^k。仔细想想k个(1+x+x^2+x^3+x^4+...)相乘是什么意思。(1+x+x^2+x^3+x^4+...)^k的展开式中，n次项的系数就是我们的答案，因为它的这个系数是由原式完全展开后k个指数加起来恰好等于n的项合并起来得到的。

现在我们引用《组合数学》上暴经典的一个例题。很多书上都会有这类题。

我们要从苹果、香蕉、橘子和梨中拿一些水果出来，要求苹果只能拿偶数个，香蕉的个数要是5的倍数，橘子最多拿4个，梨要么不拿，要么只能拿一个。问按这样的要求拿n个水果的方案数。

结合刚才的k个(1+x+x^2+x^3+x^4+...)相乘，我们也可以算出这个问题的生成函数。

引用内容

g(x)=(1+x^2+x^4+...)(1+x^5+x^10+..)(1+x+x^2+x^3+x^4)(1+x)

=[1/(1-x^2)]*[1/(1-x^5)]*[(1-x^5)/(1-x)]*(1+x)（前两个分别是公比为2和5的几何级数，

第三个嘛，(1+x+x^2+x^3+x^4)*(1-x)不就是1-x^5了吗）

=1/(1-x)^2（约分，把一大半都约掉了）

=(1-x)^(-2)=C(1,0)+C(2,1)x+C(3,2)x^2+C(4,3)x^3...（参见刚才对1/(1-x)^k的展开）

=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+....

于是，拿n个水果有n+1种方法。我们利用生成函数，完全使用代数手段得到了答案！

如果你对1/(1-x)^k的展开还不熟悉，我们这里再介绍一个更加简单和精妙的手段来解释1/(1-x)^2=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+....。

1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+x^4+...是前面说过的。我们对这个式子等号两边同时求导数。于是，1/(1-x)^2=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+....。一步就得到了我们所需要的东西！不断地再求导数，我们同样可以得到刚才用复杂的牛顿二项式定理得到的那个结论（自己试试吧）。生成函数还有很多其它的处理手段，比如等式两边同时乘以、除以常数（相当于等式右边每一项乘以、除以常数），等式两边同时乘以、除以一个x（相当于等式右边的系数“移一位”），以及求微分积分等。神奇的生成函数啊。

我们用两种方法得到了这样一个公式：1/(1-x)^n=1+C(n,1)x^1+C(n+1,2)x^2+C(n+2,3)x^3+...+C(n+k-1,k)x^k+...。这个公式非常有用，是把一个生成函数还原为数列的武器。而且还是核武器。

接下来我们要演示如何使用生成函数求出Fibonacci数列的通项公式。

Fibonacci数列是这样一个递推数列：f(n)=f(n-1)+f(n-2)。现在我们需要求出它的生成函数g(x)。g(x)应该是一个这样的函数：

g(x)=x+x^2+2x^3+3x^4+5x^5+8x^6+13x^7+...

等式两边同时乘以x，我们得到：

x*g(x)=x^2+x^3+2x^4+3x^5+5x^6+8x^7+...

就像我们前面说过的一样，这相当于等式右边的所有系数向右移动了一位。

现在我们把前面的式子和后面的式子相加，我们得到：

g(x)+x*g(x)=x+2x^2+3x^3+5x^4+8x^5+...

把这最后一个式子和第一个式子好好对比一下。如果第一个式子的系数往左边移动一位，然后把多余的“1”去掉，就变成了最后一个式子了。由于递推函数的性质，我们神奇地得到了：g(x)+x*g(x)=g(x)/x-1。也就是说，g(x)*x^2+g(x)*x-g(x)=-x。把左边的g(x)提出来，我们有：g(x)(x^2+x-1)=-x。于是，我们得到了g(x)=x/(1-x-x^2)。

现在的任务是要把x/(1-x-x^2)还原成通项公式。这不是我们刚才的1/(1-x)^n的形式，我们要把它变成这种形式。我们发现，1-x-x^2=[1-(1-√5)x/2]*[1-(1+√5)x/2]（(1-√5)/2和(1+√5)/2是怎么算出来的？显然它们应该是x^2-x-1=0的两个根）。那么x/(1-x-x^2)一定能表示成?/[1-(1-√5)x/2]+?/[1-(1+√5)x/2]的形式（再次抱歉，输入数学公式很麻烦，将就看吧）。这是一定可以的，因为适当的?的取值可以让两个分式通分以后分子加起来恰好为一个x。?取值应该是多少呢？假设前面一个?是c1，后面那个是c2，那么通分以后分子为c1*[1-(1+√5)x/2]+c2*[1-(1-√5)x/2]，它恰好等于x。我们得到这样两个式子：常数项c1+c2=0，以及一次项-c1*(1+√5)/2-c2*(1-√5)/2=1。这两个式子足够我们解出c1和c2的准确值。你就不用解了，我用的Mathematica 5.0。解出来c1=-1/√5，c2=1/√5。你不信的话你去解吧。现在，我们把x/(1-x-x^2)变成了-(1/√5)/[1-(1-√5)x/2]+(1/√5)/[1-(1+√5)x/2]。我们已经知道了1/[1-(1-√5)x/2]的背后是以(1-√5)/2为公比的等比数列，1/[1-(1+√5)x/2]所表示的数列公比为(1+√5)/2。那么，各乘以一个常数，再相加，我们就得到了Fibonacci数列的通项公式：f(n)=-(1/√5)*[(1-√5)/2]^n+(1/√5)*[(1+√5)/2]^n。或许你会问，这么复杂的式子啊，还有根号，Fibonacci数列不都是整数吗？神奇的是，这个充满根号的式子对于任何一个自然数n得到的都是整数。熟悉用特征方程解线性递推方程的同学应该知道，以上过程实质上和找特征根求解没有区别。事实上，用上面所说的方法，我们可以求出任何一个线性齐次递推方程的通项公式。什么叫做线性齐次递推呢？就是这样的递推方程：f(n)等于多少个f(n-1)加上多少个f(n-2)加上多少个f(n-3)等等。Fibonacci数列的递推关系就是线性齐次递推关系。

我们最后看一个例子。我们介绍硬币兑换问题：我有1分、2分和5分面值的硬币。请问凑出n分钱有多少种方法。想一下刚才的水果，我们不难得到这个问题的生成函数：g(x)=(1+x+x^2+x^3+...)(1+x^2+x^4+...)(1+x^5+x^10+..)=1/[(1-x)(1-x^2)(1-x^5)]。现在，我们需要把它变成通项公式。我们的步骤同刚才的步骤完全相同。我们把(1-x)(1-x^2)(1-x^5)展开，得到1-x-x^2+x^3-x^5+x^6+x^7-x^8。我们求出-1+x+x^2-x^3+x^5-x^6-x^7+x^8=0的解，得到了以下8个解：-1,1,1,1,-(-1)^(1/5),(-1)^(2/5),-(-1)^(3/5),(-1)^(4/5)。这个不是我解出来的，我还是用的Mathematica 5.0。不是我不想解，而是我根本不会解这个8次方程。这也是为什么信息学会涉及这些东西的原因：次数稍微一高，只好交给计算机解决了。于是，(1-x)(1-x^2)(1-x^5)=(1+x)(1-x)^3(1+(-1)^(1/5) x)()()()（省略不写了）。注意那个(1-x)^3。由于等根的出现，我们不得不把(1-x)^3所包含的(1-x)和(1-x)^2因子写进一会儿的分母里，不然会导致解不出合适的c来。你可以看到很多虚数。不过没关系，这些虚数同样参与运算，就像刚才的根式一样不会影响到最后结果的有理性。然后，我们像刚才一样求出常数满足1/(1-x)(1-x^2)(1-x^5)=c1/()+c2/(1-x)+c3/(1-x)^2+c4/(1-x)^3...+c8/()。这个解太复杂了，我用Mathematica解了几分钟，打印出了起码几十KB的式子。虽然复杂，但我确实是得到了通项公式。你有兴趣的话可以尝试用Mathematica解决一下1/[(1-x)(1-x^3)]（只有1分和3分的硬币）。解c的值时可以用SolveAlways[]函数。你可以亲眼见到，一个四五行的充满虚数的式子最后总是得到正确的整数答案。

二、DDR和DDRⅡ各是什么意思

严格的说DDR应该叫DDR SDRAM，人们习惯称为DDR，部分初学者也常看到DDR SDRAM，就认为是SDRAM。DDR SDRAM是Double Data Rate SDRAM的缩写，是双倍速率同步动态随机存储器的意思。DDR内存是在SDRAM内存基础上发展而来的，仍然沿用SDRAM生产体系，因此对于内存厂商而言，只需对制造普通SDRAM的设备稍加改进，即可实现DDR内存的生产，可有效的降低成本。

SDRAM在一个时钟周期内只传输一次数据，它是在时钟的上升期进行数据传输；而DDR内存则是一个时钟周期内传输两次次数据，它能够在时钟的上升期和下降期各传输一次数据，因此称为双倍速率同步动态随机存储器。DDR内存可以在与SDRAM相同的总线频率下达到更高的数据传输率。

与SDRAM相比：DDR运用了更先进的同步电路，使指定地址、数据的输送和输出主要步骤既独立执行，又保持与CPU完全同步；DDR使用了DLL(Delay Locked Loop，延时锁定回路提供一个数据滤波信号)技术，当数据有效时，存储控制器可使用这个数据滤波信号来精确定位数据，每16次输出一次，并重新同步来自不同存储器模块的数据。DDR本质上不需要提高时钟频率就能加倍提高SDRAM的速度，它允许在时钟脉冲的上升沿和下降沿读出数据，因而其速度是标准SDRA的两倍。

从外形体积上DDR与SDRAM相比差别并不大，他们具有同样的尺寸和同样的针脚距离。但DDR为184针脚，比SDRAM多出了16个针脚，主要包含了新的控制、时钟、电源和接地等信号。DDR内存采用的是支持2.5V电压的SSTL2标准，而不是SDRAM使用的3.3V电压的LVTTL标准。

支持内存类型是指主板所支持的具体内存类型。不同的主板所支持的内存类型是不相同的。内存类型主要有FPM，EDO，SDRAM，RDRAM已经DDR DRAM等。

FPM内存 EDO内存 SDRAM内存 RDRAM内存 DDR SDRAM内存

DDR2内存

ECC并不是内存类型，ECC（Error Correction Coding或Error Checking and Correcting）是一种具有自动纠错功能的内存，英特尔的82430HX芯片组就开始支持它，使用该芯片组的主板都可以安装使用ECC内存，但由于ECC内存成本比较高，所以主要应用在要求系统运算可靠性比较高的商业电脑中，例如服务器/工作站等等。由于实际上存储器出错的情况不会经常发生，而且普通的主板也并不支持ECC内存，所以一般的家用与办公电脑也不必采用ECC内存。

一般情况下，一块主板只支持一种内存类型，但也有例外。有些主板具有两种内存插槽，可以使用两种内存，例如以前有些主板能使用EDO和SDRAM，现在有些主板能使用SDRAM和DDR SDRAM。

明日之星——DDR-Ⅱ与DDR-Ⅲ（一）

作为DDR的接班人，DDR-Ⅱ在规范制定之初就引起了广泛的关注，进入2002年，三星、Elpida、Hynix、Micron等都相继发布了DDR-Ⅱ芯片（最早由三星在5月28日发布），让人觉得DDR-Ⅱ突然和我们近了。可是，DDR-Ⅱ规范却一直没有正式公开，在JEDEC上仍只有一篇ATi技术人员写的，在目前看来有些内容都已过时的简要介绍。

原来，DDR-Ⅱ标准到2002年10月完成度也没有达到100%（厂商透露大约为95%），而上述厂商所推出的芯片也在不断的修改中，预计正式的规范将在明年第一季度推出。不过，DDR-Ⅱ的主体设计已经完成，不会有大的改动，所以通过这些“试验性”芯片，我们仍可掌握DDR-Ⅱ的主要信息。

DDR-Ⅱ相对于DDR的主要改进如下：

DDR-Ⅱ与目前的DDR对比表

由于DDR-Ⅱ相对DDR-I的设计变动并不大，因此很多操作就不在此详细介绍了，本文重点阐述DDR-Ⅱ的一些重要变化。

导航：首页→文章→电脑硬件→三大件→正文

--------------------------------------------------------------------------------

高手进阶，终极内存技术指南——完整/进阶版

发布日期：2002年12月17日作者：特约作者赵效民编辑：PCPOP

--------------------------------------------------------------------------------

第1页：序：不得不说的话第2页：SDRAM与内存基础概念（一）第3页：SDRAM与内存基础概念（二）第4页：SDRAM与内存基础概念（三）第5页：SDRAM与内存基础概念（四）第6页：SDRAM与内存基础概念（五）第7页：SDRAM与内存基础概念（六）第8页：SDRAM的结构、时序与性能的关系（上）第9页：SDRAM的结构、时序与性能的关系（下）第10页：如日中天——DDR SDRAM（上）第11页：如日中天——DDR SDRAM（下）第12页：昔日贵族——Rambus DRAM（一）第13页：昔日贵族——Rambus DRAM（二）第14页：昔日贵族——Rambus DRAM（三）第15页：昔日贵族——Rambus DRAM（四）第16页：明日之星——DDR-Ⅱ与DDR-Ⅲ（一）第17页：明日之星——DDR-Ⅱ与DDR-Ⅲ（二）第18页：明日之星——DDR-Ⅱ与DDR-Ⅲ（三）第19页：没有我不行——内存模组（上）第20页：没有我不行——内存模组（下）

第16页：明日之星——DDR-Ⅱ与DDR-Ⅲ（一）

作为DDR的接班人，DDR-Ⅱ在规范制定之初就引起了广泛的关注，进入2002年，三星、Elpida、Hynix、Micron等都相继发布了DDR-Ⅱ芯片（最早由三星在5月28日发布），让人觉得DDR-Ⅱ突然和我们近了。可是，DDR-Ⅱ规范却一直没有正式公开，在JEDEC上仍只有一篇ATi技术人员写的，在目前看来有些内容都已过时的简要介绍。

原来，DDR-Ⅱ标准到2002年10月完成度也没有达到100%（厂商透露大约为95%），而上述厂商所推出的芯片也在不断的修改中，预计正式的规范将在明年第一季度推出。不过，DDR-Ⅱ的主体设计已经完成，不会有大的改动，所以通过这些“试验性”芯片，我们仍可掌握DDR-Ⅱ的主要信息。

DDR-Ⅱ相对于DDR的主要改进如下：

DDR-Ⅱ与目前的DDR对比表

由于DDR-Ⅱ相对DDR-I的设计变动并不大，因此很多操作就不在此详细介绍了，本文重点阐述DDR-Ⅱ的一些重要变化。

一、 DDR-Ⅱ内存结构

DDR-Ⅱ内存的预取设计是4bit，通过DDR的讲述，大家现在应该知道是什么意思了吧。

上文已经说过，SDRAM有两个时钟，一个是内部时钟，一个是外部时钟。在SDRAM与DDR时代，这两个时钟频率是相同的，但在DDR-Ⅱ内存中，内部时钟变成了外部时钟的一半。以DDR-Ⅱ 400为例，数据传输频率为400MHz（对于每个数据引脚，则是400Mbps/pin），外部时钟频率为200MHz，内部时钟频率为100MHz。因为内部一次传输的数据就可供外部接口传输4次，虽然以DDR方式传输，但数据传输频率的基准——外部时钟频率仍要是内部时钟的两倍才行。就如RDRAM PC800一样，其内部时钟频率也为100MHz，是传输频率的1/8。

DDR-Ⅱ、DDR与SDRAM的操作时钟比较

所以，当预取容量超过接口一次DDR的传输量时，内部时钟必须降低（除非数据传输不是DDR方式，而是一个时钟周期4次）。如果内部时钟也达到200MHz，那外部时钟也要达到400MHz，这会使成本有大幅度提高。因此，DDR-Ⅱ虽然实现了4-bit预取，但在实际效能上，与DDR是一样的。在上面那幅比较图中，可以看出厂商们的一种误导，它虽然表示出在相同的核心频率下，DDR-Ⅱ达到了两倍于DDR的的带宽，但前提是DDR-Ⅱ的外部时钟频率也是DDR和SDRAM的两倍。在DDR的时钟频率已经达到166/200MHz的今天，再用100MHz去比较，显然意义不大。这点也请大家们注意识别，上图更多的是说明DDR-Ⅱ内外时钟的差异。毕竟内部时钟由外部决定，所以外部时钟才是比较的根本基准。

总之，现在大家要明确认识，在外部时钟频率相同的情况下，DDR-Ⅱ与DDR的带宽一样。

二、 DDR-Ⅱ的新操作与新时序设计

1、片外驱动调校（OCD，Off-Chip Driver）

DDR-Ⅱ内存在开机时也会有初始化过程，同时在EMRS中加入了新设置选项，由于大同小异，在此就不多说了。在EMRS阶段，DDR-Ⅱ加入了可选的OCD功能。OCD的主要用意在于调整I/O接口端的电压，来补偿上拉与下拉电阻值。目的是让DQS与DQ数据信号之间的偏差降低到最小。调校期间，分别测试DQS高电平/DQ高电平，与DQS低电平/DQ高电平时的同步情况，如果不满足要求，则通过设定突发长度的地址线来传送上拉/下拉电阻等级（加一档或减一档），直到测试合格才退出OCD操作。

OCD的作用在于调整DQS与DQ之间的同步，以确保信号的完整与可靠性

不过，据一些厂商的技术人员介绍，一般情况下有DQS#（差分DQS时）就基本可以保证同步的准确性，而且OCD的调整对其他操作也有一定影响，因此在普通台式机上不需要用OCD功能，它一般只会出现在高端产品中，如对数据完整性非常敏感的服务器等。

2、片内终结（ODT，On-Die Termination）

所谓的终结，就是让信号被电路的终端被吸收掉，而不会在电路上形成反射，造成对后面信号的影响。在DDR时代，控制与数据信号的终结在主板上完成，每块DDR主板在DIMM槽的旁边都会有一个终结电压岛的设计，它主要由一排终结电阻构成。长期以来，这个电压岛一直是DDR主板设计上的一个难点。而ODT的出现，则将这个难点消灭了。

顾名思义，ODT就是将终结电阻移植到了芯片内部，主板上不在有终结电路。ODT的功能与禁止由北桥芯片控制，ODT所终结的信号包括DQS、RDQS（为8bit位宽芯片增设的专用DQS读取信号，主要用来简化一个模组中同时使用4与8bit位宽芯片时的控制设计）、DQ、DM等。需要不需要该芯片进行终结由北桥控制。

那么具体的终结操作如果实现呢？首先要确定系统中有几条模组，并因此来决定终结的等效电阻值，有150和75Ω两档，这一切由北桥在开机进行EMRS时进行设置。

在向内存写入时，如果只有一条DIMM，那么这条DIMM就自己进行终结，终结电阻等效为150Ω。如果为两条DIMM，一条工作时，另一条负责终结，但等效电阻为75Ω

在从内存读出时，终结操作也将在北桥内进行，如果有两条DIMM，不工作的那一条将会终结信号在另一方向的余波，等效电阻也因DIMM的数量而有两种设置

（上图可点击放大）

两个DIMM在交错工作中的ODT情况，第一个模组工作时，第二个模组进行终结操作，等第二个模组工作时，第一个模组进行终结操作

现在我们应该基本了解了ODT的功能，它在很大程度上减少了内存芯片在读取时的I/O功率消耗，并简化了主板的设计，降低了主板成本。而且ODT也要比主板终结更及时有效，从而也成为了提高信号质量的重要功能，这有助于降低日后DDR-Ⅱ进一步提速的难度。但是，由于为了确保信号的有效终结，终结操作期将会比数据传输期稍长，从而多占用一个时钟周期的时间而造成总线空闲。不过，有些厂商的技术人员称，通过精确设置tDQSS，可以避免出现总线空闲。

三、2x是多少钱的意思

车贩子说的2x是2万多的意思。在二手车市场中，X是任意数，例如2.X就是2万多，X就是具体谈下来的价格。如果是2X，那就是20多万，2XX就是200多万。一般像润华二手车这种正规的二手车经销商明码标价，尽量避免要价不清晰的情况。

卖家根据买家对车识别度任意加价的嫌疑